2. Číselné soustavy

Číselná soustava je způsob reprezentace čísel. Podle způsobu určení hodnoty čísla z dané reprezentace rozlišujeme poziční číselné soustavy a nepoziční číselné soustavy. Zápis čísla dané soustavy je posloupností symbolů, které se nazývají číslice.

Předchozí okruh: 1. Historie počítačů

Poziční číselné soustavy

• charakterizovány základem, neboli bází (radix, r)
• radix = kladné celé číslo definující maximální počet číslic, který je v dané soustavě k dispozici
• na posledním místě v zápisu jsou jednotky (r^0), pak desítky (r^1), stovky (r^2),…
• v n-kové soustavě je vždy n cifer, největší je n-1
  • z toho vyplývá, že n se vždy zapisuje jako 1 a 0 (10)

• výhody
  • velká pružnost a poměrně malá množina číslic
• nevýhody
  • velmi snadná změna hodnoty čísla pouhým připsáním číslice před původní číslo, proto se před peněžní částky v bance obvykle píše vlnovka takový způsob dodatečného falšování znemožňující, možným omylům se tím ovšem nepředejde, a proto se částka vypisuje slovně

• dvojková (binární, r = 2)
  • pouze symboly 1 a 0
  • používaná ve všech moderních digitálních počítačích, neboť její dvě číslice (0 a 1) odpovídají dvěma jednoduše rozdělitelným stavům elektrického obvodu (vypnuto a zapnuto), popřípadě nepravdivosti či pravdivosti výroku
  • Booleova algebra
• desítková (dekadická, r = 10)
  • nejpoužívanější (běžný život i věda)
  • s použitím znaménka minus a desetinné značky umožňuje zapsat libovolné reálné číslo s konečnou přesností
  • pravděpodobně původ v počtu prstů na rukou
• dvanáctková (r = 12)
  • dnes se prakticky nepoužívá
  • výjimečně tucet (12) a veletucet (144)
• šestnáctková (hexadecimální, r = 16)
  • využití v informatice
  • 0-9 pro číslice, 10-16 značí písmena A-F
  • výhodou je přehlednost a snadný převod do dvojkové, protože dvojková čísla jsou pro člověka příliš dlouhá a nepřehledná
  • např. hexadecimální kód barev
• šedesátková (hexagesimální, r = 60)
  • pro měření času a úhlů
  • číslice 0-59 se zapisují desítkovou soustavou

Nepoziční číselné soustavy

• způsob reprezentace čísel, ve kterém není hodnota číslice dána jejím pořadím v dané sekvenci číslic
• dnes již téměř nepoužívají a jsou považovány za zastaralé

• římské číslice
  • dnes nejznámější nepoziční číselná soustava
  • způsob zápisu čísel pomocí několika vybraných písmen latinské abecedy (I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000)
  • dnes se římské číslice používají většinou jen ve specifických případech, např. k označení kapitoly, odstavců či panovníků stejného jména
• řecké číslice
  • využití písmen alfabety, kterým jsou přiřazeny hodnoty 1-9, 10-90 a 100-900
• egyptské číslice
  • používali nepoziční desítkovou soustavu
  • pro každou mocninu deseti měli jiný znak, který se podle potřeby opakoval

• Poznámka:
  • jedničková soustava
    • řadí se nejčastěji jako nestandardní poziční, někdy jako nepoziční, nebo se staví zcela mimo dělení poziční/nepoziční
    • umožňuje zápis pouze kladných celých čísel

Příklady převodů

• Metoda dělení základem – vhodná pro převod z desítkové do ostatních (pro celá čísla)
• Metoda násobení základem – vhodná pro převod z desítkové do ostatních (pro desetinnou část čísla)
• Substituční metoda – vhodná pro převod do desítkové z ostatních

Příklad 1: 176 z desítkové do osmičkové
176 : 8 = 22 (0)
22 : 8 = 2 (6)
2 : 8 = 0 (2)
přečteme zbytky odspodu -> 176 v osmičkové soustavě zapíšeme jako 260

Příklad 2: 176 z desítkové do šestnáctkové
176 : 16 = 11 (0)
11 : 16 = 0 (11 -> b)
-> 176 v šestnáctkové soustavě zapíšeme jako b0

Příklad 3: 127 z desítkové do pětkové soustavy
127 : 5 = 25 (2)
25 : 5 = 5 (0)
5 : 5 = 1 (0)
1 : 5 = 0 (1)
-> 127 v pětkové soustavě zapíšeme jako 1002

Příklad 4: 1002 z pětkové do desítkové
-> 1*5^3 + 0*5^2 + 0*5^1 + 2*5^0 = 125 + 0 + 0 + 2 = 127

Příklad 5: 2534 + 2244 v šestkové
  2534
+2244
=5222
-> sčítáme podobně jako v desítkové

Příklad 6: 10110101 * 10 v dvojkové
  10110101
            * 10
  00000000
10110101  
101101010
-> násobíme podobně jako v desítkové

Následující okruh: 3. Cloud a mobilní technologie